TETRAEDRO

Un tetraedro regular es un sólido simétrico que tiene cuatro de sus caras iguales, cada una de las cuales es un triángulo equilatero. Use el método de agotamiento particular del volumen de un tetraedro regular cuyas aristas tengan una longitud común de 2 cm.

Este fue un problema planteado en la clase de cálculo, la forma en que se resolvío se muestra a continuación.


Lo que nos interesa primeramente, es conocer la altura del tetraedro, este cálculo se facilita dado que estamos trabajando con un tetraedro regular.

Para esto trabajemos con una de sus bases y calculemos su altura. A continuación se muestra la figura, para facilitar trabajar con esta asignamos letras a cada parte que nos interesa.




En la figura anterior se trazaron las alturas de la base, con este trazo obtenemos seis triángulos congruentes.

De acuerdo al teorema de pitágoras tenemos que.
$h_1=\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ .......................1

Calculemos el área de esta base:

$A_{ABC}=\ frac{2\sqrt{3} } {2} = \ sqrt{3}$

Calculemos x e y dado que el área de un triángulo pequeño es la sexta parte del triángulo ABC,(es igual a $\frac{\ sqrt{3} } {3}$, por lo que :

$y = 2 (\frac{\sqrt{3} } {6} = \frac{\sqrt{3}} {3}$

Por lo anterior tenemos que:

$x = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{3} + 1^2} = \frac{2 (\sqrt{3}){3}$

De acuerdo a los datos obtenidos, podemos calcular la altura del tetraedro regular.

$h=\sqrt{2^2 + (\fra{2\sqrt{3}}{3})^2} = \sqrt{\frac{36-12}{9}} = \frac{2\sqrt{6}}{6}$

Circunscribiendo prismas con base triángular tenemos que la altura de cada prisma es $2\frac{\sqrt{6} } {3n}$


Calculemos el k-ésimo lado (l_k) madiante proporciones puesto que tenemos triángulos semejantes.

$l_k = k\ frac{2}{n}$

Calculemos el k-ésima altura (h_k):

$h_k = k\frac{\sqrt{3}}{n}$
Por lo anterior tenemos que el volumen de tetraedro (V_t) es igual a:

$V_t=sum_{k=1}^{k=n} ((\frac{2 k^2\sqrt{3}}{2n^2})(\frac{2\sqrt{6}}{3n}))$

$= sum_{k=1}^{k=n} \frac{2k^2\sqrt{2}}{n^3}$
$=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\2\sqrt{2}{6} (\frac{n (n+1) (2n+1)}{n^3}$

$= \frac{\sqrt{2}}{3} \lim { n\rightarrow \infty (1+ \frac{1}{n}) (2+\frac{1}{n})$

$=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Es un poco largo pero logramos encontrar la altura del tetraedro cuyas aristas tienen 2 cm de longitud. A continuación les dejo un enlace en el cual se habla del método de agotamiento.
cálculo