Esta reflexión me pareció muy interesante, bueno me agrada la mayoria pues trata de que por un momento pienses, y reflexiones. A mi parecer trata de que uno nunca sabe todo, pero siempre debe de conocer algo.
CUENTO MÍSTICO
Un gran Maestro llegó a un pueblo a dar charlas a sus futuros discípulos, pero antes quería saber si estaban preparados para recibir su enseñanza.
Una vez junto a ellos, les preguntó: ¿Saben de qué voy a hablarles?. No respondieron al unísono. Entonces, dijo el Maestro, me retiraré hasta que ustedes sepan de qué voy a hablarles.
Al siguiente día el Maestro volvió a verlos y nuevamente les preguntó: ¿Saben ahora de qué voy a hablarles?. Si Maestro, luego de habernos reunidos y por la referencias de otros pueblos ya sabemos de qué va a hablarnos.
Entonces, dijo el Maestro, si ya saben, me retiro.
Desconcertados los discípulos no sabian que hacer y estuvieron meditando todo el día para ver que respuesta le daban al Maestro.
Al otro día el Maestro volvió a preguntar: ¿Ya saben de qué voy a hablarles?. Los discípulos dijeron, si Maestro, pero no nos ponemos de acuerdo, la mitad si sabe pero la otra no.
Entonces, dijo el Maestro, que la mitad de ustedes le enseñe a la otra mitad y acto seguido se retiró.
Al cuarto día, nuevamente el Maestro llegó y preguntó: ¿Ya saben de qué voy a hablarles?. Nadie respondió, estaban en profunda meditación. Entonces el Maestro meditó junto a ellos.
A continuacion les dejo el enlace de dande la obtuve.
Pensamientos
martes, 19 de abril de 2011
TETRAEDRO
Un tetraedro regular es un sólido simétrico que tiene cuatro de sus caras iguales, cada una de las cuales es un triángulo equilatero. Use el método de agotamiento particular del volumen de un tetraedro regular cuyas aristas tengan una longitud común de 2 cm.
Este fue un problema planteado en la clase de cálculo, la forma en que se resolvío se muestra a continuación.
Lo que nos interesa primeramente, es conocer la altura del tetraedro, este cálculo se facilita dado que estamos trabajando con un tetraedro regular.
Para esto trabajemos con una de sus bases y calculemos su altura. A continuación se muestra la figura, para facilitar trabajar con esta asignamos letras a cada parte que nos interesa.
En la figura anterior se trazaron las alturas de la base, con este trazo obtenemos seis triángulos congruentes.
De acuerdo al teorema de pitágoras tenemos que.
$h_1=\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ .......................1
Calculemos el área de esta base:
$A_{ABC}=\ frac{2\sqrt{3} } {2} = \ sqrt{3}$
Calculemos x e y dado que el área de un triángulo pequeño es la sexta parte del triángulo ABC,(es igual a $\frac{\ sqrt{3} } {3}$, por lo que :
$y = 2 (\frac{\sqrt{3} } {6} = \frac{\sqrt{3}} {3}$
Por lo anterior tenemos que:
$x = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{3} + 1^2} = \frac{2 (\sqrt{3}){3}$
De acuerdo a los datos obtenidos, podemos calcular la altura del tetraedro regular.
$h=\sqrt{2^2 + (\fra{2\sqrt{3}}{3})^2} = \sqrt{\frac{36-12}{9}} = \frac{2\sqrt{6}}{6}$
Circunscribiendo prismas con base triángular tenemos que la altura de cada prisma es $2\frac{\sqrt{6} } {3n}$
Calculemos el k-ésimo lado (l_k) madiante proporciones puesto que tenemos triángulos semejantes.
$l_k = k\ frac{2}{n}$
Calculemos el k-ésima altura (h_k):
$h_k = k\frac{\sqrt{3}}{n}$
Por lo anterior tenemos que el volumen de tetraedro (V_t) es igual a:
$V_t=sum_{k=1}^{k=n} ((\frac{2 k^2\sqrt{3}}{2n^2})(\frac{2\sqrt{6}}{3n}))$
$= sum_{k=1}^{k=n} \frac{2k^2\sqrt{2}}{n^3}$
$=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\2\sqrt{2}{6} (\frac{n (n+1) (2n+1)}{n^3}$
$= \frac{\sqrt{2}}{3} \lim { n\rightarrow \infty (1+ \frac{1}{n}) (2+\frac{1}{n})$
$=\frac{2\sqrt{2}}{3}$
Es un poco largo pero logramos encontrar la altura del tetraedro cuyas aristas tienen 2 cm de longitud. A continuación les dejo un enlace en el cual se habla del método de agotamiento.
cálculo
Este fue un problema planteado en la clase de cálculo, la forma en que se resolvío se muestra a continuación.
Lo que nos interesa primeramente, es conocer la altura del tetraedro, este cálculo se facilita dado que estamos trabajando con un tetraedro regular.
Para esto trabajemos con una de sus bases y calculemos su altura. A continuación se muestra la figura, para facilitar trabajar con esta asignamos letras a cada parte que nos interesa.
En la figura anterior se trazaron las alturas de la base, con este trazo obtenemos seis triángulos congruentes.
De acuerdo al teorema de pitágoras tenemos que.
$h_1=\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ .......................1
Calculemos el área de esta base:
$A_{ABC}=\ frac{2\sqrt{3} } {2} = \ sqrt{3}$
Calculemos x e y dado que el área de un triángulo pequeño es la sexta parte del triángulo ABC,(es igual a $\frac{\ sqrt{3} } {3}$, por lo que :
$y = 2 (\frac{\sqrt{3} } {6} = \frac{\sqrt{3}} {3}$
Por lo anterior tenemos que:
$x = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{3} + 1^2} = \frac{2 (\sqrt{3}){3}$
De acuerdo a los datos obtenidos, podemos calcular la altura del tetraedro regular.
$h=\sqrt{2^2 + (\fra{2\sqrt{3}}{3})^2} = \sqrt{\frac{36-12}{9}} = \frac{2\sqrt{6}}{6}$
Circunscribiendo prismas con base triángular tenemos que la altura de cada prisma es $2\frac{\sqrt{6} } {3n}$
Calculemos el k-ésimo lado (l_k) madiante proporciones puesto que tenemos triángulos semejantes.
$l_k = k\ frac{2}{n}$
Calculemos el k-ésima altura (h_k):
$h_k = k\frac{\sqrt{3}}{n}$
Por lo anterior tenemos que el volumen de tetraedro (V_t) es igual a:
$V_t=sum_{k=1}^{k=n} ((\frac{2 k^2\sqrt{3}}{2n^2})(\frac{2\sqrt{6}}{3n}))$
$= sum_{k=1}^{k=n} \frac{2k^2\sqrt{2}}{n^3}$
$=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\2\sqrt{2}{6} (\frac{n (n+1) (2n+1)}{n^3}$
$= \frac{\sqrt{2}}{3} \lim { n\rightarrow \infty (1+ \frac{1}{n}) (2+\frac{1}{n})$
$=\frac{2\sqrt{2}}{3}$
Es un poco largo pero logramos encontrar la altura del tetraedro cuyas aristas tienen 2 cm de longitud. A continuación les dejo un enlace en el cual se habla del método de agotamiento.
cálculo
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